Python怎么利用蒙特卡羅模擬期權定價

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期權是一種合約，它賦予買方在未來某個時間點以特定價格買賣資產的權利。 這些被稱為衍生品的合約的交易有多種原因，但一種常見的用法是來對沖當資產價格以不利方式變動，所產生的風險敞口。

期權，即買入或賣出的權利，也是有價格的。 Black Scholes 模型描述了一種確定期權公平價格的方法，但還有許多其他方法可以確定價格。

期權，及其價值

歐式期權只有在未來達到預定日期（稱為到期日）后才能使用（或行使），可以用字母 T 表示。

看漲期權賦予期權持有人以已知價格購買的權利。 如果資產的到期價格（用 ST 表示）高于執行價格 K ，則看漲期權會賺錢，否則就一文不值。

CT=max(0,ST−K)

同樣，看跌期權是出售資產的權利。 當資產在到期日價格ST低于執行價格K時，看跌期權會賺錢，否則就一文不值。

PT=max(0,K−ST)

以下是到期時看跌期權和看漲期權的收益圖。 我們的資產價格是 x 軸，收益是 y 軸。

風險中性估值

為了使用蒙特卡羅模擬為期權定價，我們使用風險中性估值，其中衍生品的公允價值是其未來收益的預期價值。

因此，在到期前的任何日期，用 t 表示，期權的價值是其到期收益預期的現值 T 。

Ct=PV(E[max(0,ST−K)])

Pt=PV(E[max(0,K−ST)])

在風險中性估值下，我們假設標的資產將平均獲得無風險利率。 因此，要計算任何時間 t 的期權收益，我們要按該利率對收益進行貼現。 現在我們有一種計算現值 PV 的方法。

上面的公式中，除了St ，所有這些變量都是已知的，因此St是我們的模擬將提供的。

為了給期權定價，我們將創建一個模擬，為資產 St 最終價格提供許多觀察結果。 通過平均所有的回報，我們得到了對回報的期望值。

模擬資產價格

Black Scholes 模型中使用的股票價格行為模型假設我們有一個已知的波動性，我們有一個無風險利率，并且資產的價格遵循幾何布朗運動。

幾何布朗運動是一個隨機過程，其中隨機變量的對數服從正態分布。 這種類型的過程通過對數正態分布來分配價格。

所以現在我們有一個計算時間 T 時刻資產價格的方法：

為此，我們需要知道：

r 是我們要貼現的無風險利率。 σ 是波動率，即股票回報的年化標準差。 (T-t) 給了我們年化的到期時間。 例如，對于 30 天選項，這將是 30/365=0.082... S 是在時間 t 標的資產的價格。 ? 是我們的隨機值。 它的分布必須是標準正態（均值為 0.0，標準差為 1.0）

期權定價

為了在模擬過程中為期權定價，我們生成資產可能在到期時的許多價格，計算每個生成價格的期權收益，將它們平均，然后對最終價值進行貼現。

在創建完整模擬之前，我們將通過一個包含10次運行的小示例。假設我們有一個具有以下價值的資產：S = 100.00 美元和 σ = 20%，我們想為半年到期的看漲期權定價，執行價為 110.00 美元，我們的無風險利率是 1%。

將折扣收益值平均，得出我們的看漲期權價格為 2.38 美元。 我們執行的模擬越多，價格就越準確。

現在我們可以看到模擬如何生成價格，讓我們構建一個可以為期權定價的小型 Python 腳本，看看它是否與真實情況相符。 讓我們看一下實際的例子。

為真實期權定價

在下圖中，我們有一個谷歌看漲期權的報價，行使價為 860.00 美元，將于 2013 年 9 月 21 日到期。我們還可以看到它的最后交易價格是14.50 美元。這個例子給了我們嘗試定價時，期權的一個目標價格。

此處未指定的是波動性、無風險利率、當前的股票價格。 波動率是一個相當復雜的話題，因此就本文而言，我們將假設我們知道該特定期權的波動率為 20.76%。而股票當前價格可以通過查看各種來源找到，為857.29 美元。

對于無風險利率，我們可以使用與我們選擇的到期時間相同的美國 LIBOR 利率； 我們的期權在大約三周后到期，由于沒有三周利率，我們將使用兩周利率來近似，即 0.14%。

接下來是Python代碼的實現，首先我們將寫下我們將如何生成資產價格。

def generate_asset_price(S,v,r,T):
    return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * gauss(0,1.0))

我們知道所有的輸入值，所以我們可以像這樣設定它們：

S = 857.29 # underlying price
v = 0.2076 # vol of 20.76%
r = 0.0014 # rate of 0.14%
T = (datetime.date(2013,9,21) - datetime.date(2013,9,3)).days / 365.0

print generate_asset_price(S,v,r,T)
>>> 862.1783726682384

現在我們需要能夠計算這個生成價格的回報。 回想一下之前我們說過看漲期權在到期時價值是 ST-K 或 0，我們將其表示為一個函數，并應用于我們生成的資產價格。

def call_payoff(S_T, K):
    return max(S_T - K, 0.0)

print call_payoff(862.18, 860)
>>> 2.1799999999

完整的模擬

現在讓我們將各模塊代組合，并為 Google 期權定價。

import datetime
from random import gauss
from math import exp, sqrt

def generate_asset_price(S,v,r,T):
    return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * gauss(0,1.0))

def call_payoff(S_T,K):
    return max(0.0,S_T-K)

S = 857.29 # underlying price
v = 0.2076 # vol of 20.76%
r = 0.0014 # rate of 0.14%
T = (datetime.date(2013,9,21) - datetime.date(2013,9,3)).days / 365.0
K = 860.
simulations = 90000
payoffs = []
discount_factor = math.exp(-r * T)

for i in xrange(simulations):
    S_T = generate_asset_price(S,v,r,T)
    payoffs.append(
        call_payoff(S_T, K)
    )

price = discount_factor * (sum(payoffs) / float(simulations))
print 'Price: %.4f' % price

程序運行結果如下，這與我們在市場上觀察到的此 Google 期權的價格相匹配。

Price: 14.5069

需要注意的是，我們剛剛計算的谷歌期權實際上是一個美式期權，我們只是把它定價成歐式期權，沒有考慮期權可以提前行權的可能性，盡管如此，我們仍然得出了正確的價格。

這是因為，非派息股票（例如文中舉例的 Google）的美式看漲期權的價格與歐式看漲期權的價格相同。理論上，當股票不支付股息時，提前行權并不是最佳選擇。 如果期權永遠不會提前行權，那么美式期權的價格可以像歐式期權一樣進行計算。

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