數據結構中的AVL樹是什么意思

今天就跟大家聊聊有關數據結構中的AVL樹是什么意思，可能很多人都不太了解，為了讓大家更加了解，小編給大家總結了以下內容，希望大家根據這篇文章可以有所收獲。

1、AVL樹簡介

      AVL樹本質上還是一棵二叉搜索樹，又稱高度平衡的二叉搜索樹。它能保持二叉樹的高度平衡，盡量降低二叉樹的高度，減少樹的平均搜索長度。對于二叉搜索樹的介紹和實現，可查看本人上一篇博客。

2、AVL樹的特點

1）本身首先是一棵二叉搜索樹。 

2）帶有平衡條件：每個結點的左右子樹的高度之差的絕對值（平衡因子）最多為1。

3）樹中的每個左子樹和右子樹都是AVL樹。

4）每個結點都有一個平衡因子，任一結點的平衡因子是-1,0,1.

注：結點的平衡因子 = 右子樹高度 - 左子樹高度

3、AVL樹的效率

一棵AVL樹有N個結點，其高度可以保持在lgN，插入/刪除/查找的時間復雜度也是lgN。

AVL樹的復雜程度真是比二叉搜索樹高了整整一個數量級——它的原理并不難弄懂，但要把它用代碼實現出來還真的有點費腦筋。下面我們來看看AVL樹實現的接口，通過三叉鏈進行結點的實現。

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode//三叉鏈
{
 AVLTreeNode<K, V>* _left;
 AVLTreeNode<K, V>* _right;
 AVLTreeNode<K, V>* _parent;
 K _key;
 V _value;
 int _bf;//右子樹與左子樹的高度差
 AVLTreeNode(const K& key = K(), const V& value = V())//加上K()和V()，可缺省構造
  :_left(NULL)
  , _right(NULL)
  , _parent(NULL)
  , _key(key)
  , _value(value)
  , _bf(0)
 {}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
 typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
 AVLTree()
  :_root(NULL)
 {}
 void Insert(const K& key, const V& value);
 Node* Find(const K& key);
 int Height();
 bool IsBalance();
 void PrintAVLTree();
private:
 Node* _Find(Node* root, const K& key);
 void _RotateL(Node*& parent);
 void _RotateR(Node*& parent);
 void _RotateLR(Node*& parent);
 void _RotateRL(Node*& parent);
 int _Height(Node* root);
 bool _IsBalance(Node* root);
 void _PrintAVLTree(Node* root);
protected:
 Node* _root;
};

下面對插入進行元素的分析：

1）判斷樹是否為空，為空時，新建根結點。

2）查找插入的key是否存在，存在就退出函數，不存在就執行3）。

3）找到插入key的位置，然后插入結點cur。

4）更新平衡因子：從cur開始向上其父結點進行更新平衡因子，如果結點的平衡因子不滿足AVL樹，進行旋轉調節平衡因子。

template<class K,class V>
void AVLTree<K,V>::Insert(const K& key, const V& value)
{
 if (_root == NULL)
 {
  _root = new Node(key, value);
  return;
 }
 if (Find(key))//存在key
 {
  return;
 }
 Node* prev = NULL;
 Node* cur = _root;
 while (cur)//插入key的位置cur
 {
  if (key < cur->_key)
  {
   prev = cur;
   cur = cur->_left;
  }
  else if (key > cur->_key)
  {
   prev = cur;
   cur = cur->_right;
  }
 }
 cur = new Node(key, value);//插如結點cur
 if (prev->_key > key)
 {
  prev->_left = cur;
  cur->_parent = prev;
 }
 else if (prev->_key < key)
 {
  prev->_right = cur;
  cur->_parent = prev;
 }
 //prev為cur的上一個結點，即為cur是prev的父親結點
 prev = cur;
 cur = prev->_parent;
 while (cur)
 {
  //更新平衡因子：從插如的cur開始向上更新平衡因子
  cur->_bf = _Height(cur->_right) - _Height(cur->_left);
  if (cur->_bf != -1 && cur->_bf != 1 && cur->_bf != 0)//不滿足AVL樹的結點，進行旋轉調節平衡因子
  {//平衡因子為2時，一定存在右子樹；平衡因子為-2時，一定存在左子樹
    //左單旋：2 1（平衡因子）
    if (cur->_bf == 2 && cur->_right->_bf == 1)
    {
     _RotateL(cur);//引用傳遞
    }
    //右單旋：-2 -1
    else if (cur->_bf == -2 && cur->_left->_bf == -1)
    {
     _RotateR(cur);
    }
    //左右旋轉：-2 1
    else if (cur->_bf == -2 && cur->_left->_bf == 1)
    {
     _RotateLR(cur);
    }
    //右左旋轉:2 -1
    else if (cur->_bf == 2 && cur->_right->_bf == -1)
    {
     _RotateRL(cur);
    }
  }
  prev = cur;
  cur = cur->_parent;
 }
}

進行旋轉調節平衡因子，分四種情況：

（1）左單旋：cur的平衡因子為2，cur->_right的平衡因子為1。

（2）右單旋：cur的平衡因子為-2，cur->_left的平衡因子為-1。

（3）左右旋轉：cur的平衡因子為-2，cur->_left的平衡因子為1。

（4）右左旋轉：cur的平衡因子為-2，cur->_right的平衡因子為-1。

左右旋轉和右左旋轉可通過調用左單旋和右單旋進行，注意結束后重置平衡因子。

如果不是很清楚，可以自己畫圖進行分析。

左單旋：

template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::_RotateL(Node*& parent)
{
 Node* subR = parent->_right;
 Node* subRL = subR->_left;
 parent->_right = subRL;//1
 subR->_parent = parent->_parent;//1
 subR->_left = parent;//2
 parent->_parent = subR;//2
 if (subRL)//注意不為空，進行鏈接
  subRL->_parent = parent;
 parent->_bf = subR->_bf = 0;
 //進行subR的父親結點和subR的鏈接
 if (subR->_parent == NULL)//為空時，parent為根結點，更改根結點
  _root = subR;
 else//不為空，進行鏈接
 {
  if (subR->_parent->_key > subR->_key)
   subR->_parent->_left = subR;
  else
   subR->_parent->_right = subR;
 }
 parent = subR;
}

右單旋：

template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::_RotateR(Node*& parent)
{
 Node* subL = parent->_left;
 Node* subLR = subL->_right;
 //不能變換順序
 parent->_left = subL->_right;//1
 subL->_parent = parent->_parent;//1
 subL->_right = parent;//2
 parent->_parent = subL;//2
 if (subLR)//注意不為空，進行鏈接
  subLR->_parent = parent;
 parent->_bf = subL->_bf = 0;
 //進行subL的父親結點和subL的鏈接
 if (subL->_parent == NULL)//為空時，parent為根結點，更改根結點
  _root = subL;
 else//不為空，進行鏈接
 {
  if (subL->_parent->_key > subL->_key)
   subL->_parent->_left = subL;
  else
   subL->_parent->_right = subL;
 }
 parent = subL;
}

左右旋轉：

template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::_RotateLR(Node*& parent)
{
 Node* pNode = parent;//需重新定義parent，在進行左右旋轉后，parent指向發生了變化
 Node* subLNode = pNode->_left;
 Node* subLRNode = subLNode->_right;
 _RotateL(parent->_left);
 _RotateR(parent);
 //在單旋時，parent和subL的平衡因子都為0，在進行左右旋轉和右左旋轉會出錯,故重新設置平衡因子
 //subLRNode的平衡因子存在三種情況：為0，為-1，為1。subLRNode的平衡因子影響parent和subL的平衡因子
 if (subLRNode->_bf == 1)
 {
  pNode->_bf = 1;
  subLNode->_bf = 0;
 }
 else if (subLRNode->_bf == -1)
 {
  pNode->_bf = 0;
  subLNode->_bf = -1;
 }
 else
 {
  parent->_bf = 0;
  subLNode->_bf = 0;
 }
}

右左旋轉：

template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::_RotateRL(Node*& parent)
{
 Node* pNode = parent;
 Node* subRNode = pNode->_right;
 Node* subRLNode = subRNode->_left;
 _RotateR(parent->_right);
 _RotateL(parent);
 if (subRLNode->_bf == 1)
 {
  pNode->_bf = -1;
  subRNode->_bf = 0;
 }
 else if (subRLNode->_bf == -1)
 {
  pNode->_bf = 0;
  subRNode->_bf = 1;
 }
 else
 {
  pNode->_bf = 0;
  subRNode->_bf = 0;
 }
}

測試用例如下：

void AVLTreeTest()
{
 AVLTree<int, int> avlt;
 //int arr[10] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15, 23 };
 int arr[10] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
 for (int i = 0; i < 10; ++i)
 {
  avlt.Insert(arr[i], i);
  avlt.PrintAVLTree();
 }
 cout << avlt.IsBalance() << endl;
}

看完上述內容，你們對數據結構中的AVL樹是什么意思有進一步的了解嗎？如果還想了解更多知識或者相關內容，請關注億速云行業資訊頻道，感謝大家的支持。