怎么使用Python的SymPy庫解決數學運算問題

這篇文章主要介紹怎么使用Python的SymPy庫解決數學運算問題，文中介紹的非常詳細，具有一定的參考價值，感興趣的小伙伴們一定要看完！

python的五大特點是什么

python的五大特點：1.簡單易學，開發程序時，專注的是解決問題,而不是搞明白語言本身。2.面向對象，與其他主要的語言如C++和Java相比, Python以一種非常強大又簡單的方式實現面向對象編程。3.可移植性，Python程序無需修改就可以在各種平臺上運行。4.解釋性，Python語言寫的程序不需要編譯成二進制代碼,可以直接從源代碼運行程序。5.開源，Python是 FLOSS(自由/開放源碼軟件)之一。

摘要：在學習與科研中，經常會遇到一些數學運算問題，使用計算機完成運算具有速度快和準確性高的優勢。Python的Numpy包具有強大的科學運算功能，且具有其他許多主流科學計算語言不具備的免費、開源、輕量級和靈活的特點。本文使用Python語言的NumPy庫，解決數學運算問題中的線性方程組問題、積分問題、微分問題及矩陣化簡問題，結果準確快捷，具有一定的借鑒意義。

1.Sympy庫簡介

SymPy一個用于符號型數學計算（symbolic mathematics）的Python庫。它旨在成為一個功能齊全的計算機代數系統（Computer Algebra System，CAS），同時保持代碼簡潔、易于理解和擴展。SymPy完全是用Python寫的，并不需要外部的庫。

本文選擇Sympy庫的原因在于：

• 免費：該庫基于BSD開源許可，免費且開源；

• 基于Python：該庫完全是用Python寫就，并以Python作為該庫操作語言；

• 輕量級：為了使Sympy簡單易用，該庫僅基于mpmath庫（一個純Python庫，用于浮點運算）；

• 靈活性：除了用作交互工具，還可插入其他應用或軟件拓展功能中。

具體說來，如果x與y未曾賦值，那么下列語句就會報錯

#測試語句
print(x+y)

而符號運算則不同，符號運算多用于公式推導，不需要賦值，此時使用Sympy進行符號運算便具有方便快捷的優勢，如下述語句便不會報錯。

#測試語句
x=Symbol('x')
y=Symbol('y')
print(x+y)

2 SymPy庫解決數學運算問題實現

2.1 求解線性方程組

解方程的功能主要是使用Sympy中solve函數實現。以式(1)為例，求解過程如下：

（1） 符號表示

SymPy庫中使用Symbol函數定義符號變量，

from sympy import *
x=Symbol('x')
y=Symbol('y')
 
#或者用如下語句
x,y=Symbol('x y')#第二個用空格隔開

（2）方程表示

使用代碼表示數學符號與手寫體的數學運算符號存在一定的差異，下面列舉常用的運算符：

• 加號

• 加號 +

• 減號 -

• 除號 /

• 乘號 *

• 指數 **

• 對數 log()

• e的指數次冪 exp()

對于長的表達式，如果不確定運算符的優先級，可以加入小括號提升其優先級。由于需要將表達式都轉化成右端等于0,這里把常數3和7移到等式左邊。題目中表達式可表示為：

2*x-y-3=0
3*x+y-7=0

(3)使用Solve函數解方程

在使用Solve函數解方程之前，我們先來看一下Solve函數的定義。Solve函數的第一個參數是要解的方程，要求右端等于0，第二個參數是未知數。

對于式(1)的求解，代碼如下：

from sympy import *
x = Symbol('x')
y = Symbol('y')
print(solve([2*x-y-3,3*x+y-7],[x,y]))

2.2 求解微積分問題

2.2.1 求解極限問題

在2.1中通過一個簡單的二元一次方程組求解熟悉了該庫求解數學問題的基本過程，下面本文通過示例，講解使用SymPy庫求解微積分的過程。

求解式（2）所示的極限問題，需要用到limit函數求極限。

(1)符號及方程表示

引入Sympy庫并定義n為符號變量與2.1中一致。

from sympy import *
n = Symbol('n')
s = ((n+3)/(n+2))**n

(2)利用limit函數求極限

首先我們介紹limit函數的調用格式：limit(e, z, z0, dir='+'),e為任意表達式，表示求取e(z)在點z0處的極限，dir='+'表示取右極限，die='-'則表示取左極限。則上式的求解代碼可表示如下：

from sympy import *
n = Symbol('n')
s = ((n+3)/(n+2))**n

print(limit(s,n,oo)) #無窮的表示方法是兩個小寫的字母o

2.2.2 求解定積分

(1)符號表示

from sympy import *
t = Symbol(t)
x = Symbol(x)

(2)方程表示

m = integrate(sin(t)/(pi-t),(t,0,x))
n = integrate(m,(x,0,pi))

完整代碼如下：

from sympy import *
t = Symbol(t)
x = Symbol(x)
m = integrate(sin(t)/(pi-t),(t,0,x))
n = integrate(m,(x,0,pi))
print(n)

2.2.3 求解微分問題

如求取的通解

（1）符號表示

這里與之前不同的是增加了函數的表示(用f(x)表示y)，即例題中的y還有微分表示

from sympy import *
f = Function('f')
x = Symbol('x')

y'的表示方法由以下代碼組成

diff(f(x),x)

這里對diff函數稍作介紹：

上面是求一階導的方法，求解高階導的方法如下所示：

>>> diff(x**3,x)
3*x**2
>>> diff(x**3,x,1)
3*x**2
>>> diff(x**3,x,2)
6*x
>>> diff(x**3,x,3)
6
>>> diff(x**3,x,4)
0

即改變第三個參數即可。

下面繼續我們的解題過程。

#左端
diff(f(x),x)
#看一下
print(diff(f(x),x))
 
#result
#d
#--(f(x))
#dx
 
#右端
2*f(x)*x

用dsolve函數解微分方程

dsolve函數是用來解決微分方程（differential equation）的函數。

函數的一個用法為：

dsolve(eq, f(x))

第一個參數為微分方程（要先將等式移項為右端為0的形式)。第二個參數為要解的函數(在微分方程中)

舉個例子:

>>> from sympy import *
>>> f = Function('f')
>>> x = Symbol('x')
>>> pprint(2*x-diff(f(x),x))
   d
2*x - --(f(x))
   dx
>>> dsolve(2*x - diff(f(x),x), f(x))
#result
#Eq(f(x), C1 + x**2)

這樣，我們可以將我們要解的題目，用以下代碼表示。

dsolve(diff(f(x),x) - 2*f(x)*x, f(x))

結果為：

Eq(f(x), C1*exp(x**2))
#即f(x) = C1*exp(x**2)

對比答案可以發現正確。

完整代碼:

from sympy import *
f = function('f')
x = Symbol('x')
print(dsolve(diff(f(x),x)-2*f(x)*x,f(x))

2.2.4 矩陣化簡

平時線性代數問題中我們會遇到化簡問題，雖然不算難，但著實麻煩。而且，出一點錯就會導致

結果出錯。不過好運的是SymPy提供了相關的支持。

例題：

符號表示與矩陣表示

from sympy import *
x1,x2,x3 = symbols('x1 x2 x3')
a11,a12,a13,a22,a23,a33 = symbols('a11 a12 a13 a22 a23 a33')
m = Matrix([[x1,x2,x3]])
n = Matrix([[a11,a12,a13],[a12,a22,a23],[a13,a23,a33]])
v = Matrix([[x1],[x2],[x3]])

注意m的表示，需要有兩個中括號

化簡實現

print(m*n*v)

得到的是：

Matrix([[x1*(a11*x1 + a12*x2 + a13*x3) + x2*(a12*x1 + a22*x2 + a23*x3) + x3*(a13*x1 + a23*x2 + a33*x3)]])

使用

f = m * n * v
print f[0]

可以進一步得到化簡后的式子

也許你要問我要化簡后在計算怎么辦？下面我就舉個例子。

如果上式中x1，x2，x3均等于1，則可這樣代入。

from sympy import *
x1,x2,x3 = symbols('x1 x2 x3')
a11,a12,a13,a22,a23,a33 = symbols('a11 a12 a13 a22 a23 a33')
m = Matrix([[x1, x2, x3]])
n = Matrix([[a11, a12, a13], [a12, a22, a23], [a13, a23, a33]])
v = Matrix([[x1], [x2], [x3]])
f = m * n * v
print f[0].subs({x1:1, x2:1, x3:1})

可得

a11 + 2*a12 + 2*a13 + a22 + 2*a23 + a33

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