Python 概率生成問題的示例分析

這期內容當中小編將會給大家帶來有關Python 概率生成問題的示例分析，文章內容豐富且以專業的角度為大家分析和敘述，閱讀完這篇文章希望大家可以有所收獲。

概率生成問題

有一枚不均勻的硬幣，要求產生均勻的概率分布
有一枚均勻的硬幣，要求產生不均勻的概率分布，如 0.25 和 0.75
利用 Rand7() 實現 Rand10()

不均勻硬幣 產生等概率

現有一枚不均勻的硬幣 coin()，能夠返回 0、1 兩個值，其概率分別為 0.6、0.4。要求使用這枚硬幣，產生均勻的概率分布。即編寫一個函數 coin_new() 使得它返回 0、1 的概率均為 0.5。

# 不均勻硬幣，返回 0、1 的概率分別為 0.6、0.4
def coin():
    return 0 if random.randint(1,10) > 4 else 1

統計拋兩次硬幣的結果的概率分布：

結果 0 1
0 0.60.6=0.36 0.60.4=0.24
1 0.40.6=0.24 0.40.4=0.16

連續拋兩枚硬幣得到 0 1 和 1 0 的概率分布是相同的。因此這道題的解法就是連續拋兩次硬幣，如果得到 0 1，返回 0；如果得到 1 0，返回 1；如果兩次結果相同，則重新拋。

以此類推，無論這枚不均勻硬幣的概率是多少，都可以用這種方法得到等概率的結果。

ddef coin_new():
    while True:
        a = coin()
        if coin() != a:  
            return a

完整測試代碼：

def coin():
    return 0 if random.randint(1,10) > 4 else 1

def coin_new():
    while True:
        a = coin()
        if coin() != a:  
            return a
if __name__ == '__main__':
    a = 0
    b = 0
    n = 100000
    for _ in range(n):
        if coin_new():a += 1
        if coin():b += 1

    print(f"1:{a/n},1:{b/n}")

均勻硬幣 產生不等概率

現有一枚均勻的硬幣 coin()，能夠返回 0、1 兩個值，其概率均為 0.5。要求編寫一個函數 coin_new()，使得它返回指定的 0、1 概率分布。

# 均勻硬幣 
def coin():
    return random.randint(0,1)

P(0) = 1/4，P(1) = 3/4

對于均勻硬幣而言，連續拋兩次，得到 0 0、0 1、1 0、1 1 的概率均為 1/4。顯然，只需要連續拋兩次硬幣，如果得到 0 0，返回 0，其他情況返回 1。

def coin_new():
    return coin() or coin()

P(0) = 1/3，P(1) = 2/3

連續拋兩次硬幣。如果得到 1 1，返回 0；如果得到 1 0 或 0 1，返回 1；如果得到 0 0，繼續拋硬幣。

def coin_new():
    while True:
        a, b = coin(), coin()
        if a & b: return 0
        if a | b: return 1

P(0) = 0.3，P(1) = 0.7

每拋一次硬幣，會得到二進制數的一位，連續拋 4 次硬幣，可以等概率生成 [0, 15] 的每個數，記為 x。去掉 [10, 15]，剩下 [0, 9] 的每個數依然是等概率的。如果                               x                      ∈                      [                      0                      ,                      2                      ]                          x \in [0, 2]               x∈[0,2]，返回 0；                              x                      ∈                      [                      4                      ,                      9                      ]                          x \in [4, 9]               x∈[4,9]，返回 1；                              x                      ≥                      10                          x ≥ 10               x≥10，重復上述過程。

def coin_new():
    while True:
        x = 0
        for _ in range(4):
            x = (x << 1) + coin()
        if x <= 2: return 0
        if x <= 9: return 1

總結

每拋一次硬幣，會得到二進制數的一位，連續拋 k 次硬幣，可以等概率生成                               [                      0                      ,                               2                         k                              ?                      1                      ]                          [0, 2^k-1]               [0,2k?1] 的每個數在                               [                      0                      ,                               2                         k                              ?                      1                      ]                          [0, 2^k-1]               [0,2k?1][ 中，選取 m 個數返回 0，n 個數返回 1，則 0、1 的概率分別為                                        m                                   m                            +                            n                                           \frac{m}{m+n}               m+nm 、                                       n                                   m                            +                            n                                           \frac{n}{m+n}               m+nn。

關于 k 的選擇，最少需要滿足                               N                      <                      =                               2                         k                              ?                      1                          N <= 2^k-1               N<=2k?1，N 是生成對應概率分布至少需要多少個不同數字。比如要生成 1/3、2/3 的分布，至少需要 3 個不同數字，則 N = 3, k = 2；要生成 3/10、7/10 的分布，至少需要 10 個數字，則 N = 10, k = 4。

k 最多則沒有限制，我們總可以通過拋更多次硬幣來解決問題，只需要把無用的數字舍棄即可。但我們的目的是盡可能減少無用數字的比例，因為每次遇到無用數字時，都需要重新生成新的數字。

Rand7 生成 Rand10

已有方法 Rand7() 可生成 1 到 7 范圍內的均勻隨機整數，試寫一個方法 Rand10() 生成 1 到 10 范圍內的均勻隨機整數。

拋硬幣可以看作是 Rand2()，均勻生成 0、1 兩個整數。如何根據 Rand2() 生成 Rand10()？將每次拋硬幣的結果，看作二進制的每一位，就可以得到                               [                      0                      ,                               2                         k                              ?                      1                      ]                          [0, 2^k-1]               [0,2k?1] 范圍內的均勻隨機整數。只需要拋 4 次硬幣，就能得到 [0, 15] 范圍的整數。返回 [1, 10] 范圍的整數，其他情況則重新拋硬幣。

def rand10():
    while True:
        x = 0
        for _ in range(4):
            x = x << 1 + rand2()
            
        if 1 <= x <= 10: return x

取 Rand7() - 1 作為對應的 7 進制位。每執行 k 次 Rand7()，將得到一個 k 位的 7 進制整數，在                               [                      0                      ,                               7                         k                              ?                      1                      ]                          [0, 7^k-1]               [0,7k?1] 范圍內均勻分布。

只需執行 k = 2 次 Rand7()，就可以得到范圍為 [0, 48] 的均勻整數：

當                               x                      ∈                      [                      1                      ,                      10                      ]                          x \in [1, 10]               x∈[1,10] 時返回 x，否則重新計算：

def rand10():
    while True:
        x = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1);
        if 1 <= x <= 10: return x

進一步優化

選擇 [1, 40] 范圍里的數，通過取余運算來得到 [1, 10] 范圍的數：

def rand10():
    while True:
        x = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1)
        if 1 <= x <= 40:
            return x % 10 + 1

對于上面這 9 個無用數字，計算 x % 40 可以得到 [0, 8] 范圍的均勻隨機整數。此時再調用一次 Rand7()，計算 (x % 40) * 7 + Rand7()，這相當于 Rand9() * 7 + Rand7()。顯然，可以得到 [1, 63] 范圍的均勻隨機整數。這時 [1, 60] 范圍里的數都可以用來作取余運算，只有 61、62、63 共 3 個無用數字：

def rand10():
    while True:
        x = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1)
        if 1 <= x <= 40:
            return x % 10 + 1   
            
    	x = (x % 40) * 7 + rand7() # 1~63
    	if x <= 60: return x % 10 + 1

對于 61、62、63，再調用一次 Rand7()，計算 (x - 61) * 7 + Rand7()，相當于 Rand3() * 7 + Rand7()，可以得到 [1, 21] 范圍的均勻隨機整數，這時再作取余運算，只有 1 個無用數字（21）：

def rand10():
    while True:
        x = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1)
        if 1 <= x <= 40:
            return x % 10 + 1   
            
    	x = (x % 40) * 7 + rand7() # 1~63
    	if x <= 60: return x % 10 + 1

        x = (x - 61) * 7 + 7 # 1~21
        if x <= 20: return x % 10 + 1

每次 while 執行的時候，只有 1 個無用數字（21）會被舍棄，重新執行的概率很低。

RandM 生成 RandN

已知 RandM() 可以等概率的生成 [0, M-1] 范圍的隨機整數，那么執行 k 次，每次都得到 M 進制的一位，可以等概率生成                               [                      0                      ,                               M                         k                              ?                      1                      ]                          [0, M^k-1]               [0,Mk?1] 范圍的隨機整數，記為 x。

RandN 至少需要 N 個均勻隨機整數，因此只需要取 k，使得                                        M                         k                              ?                      1                      >                      =                      N                          M^k-1 >= N               Mk?1>=N 即可，此時有多種方式得到 RandN：
一種是只在                               x                      ∈                      [                      0                      ,                      N                      ?                      1                      ]                          x \in [0, N-1]               x∈[0,N?1] 時返回 x，另一種是利用取余運算，在保證等概率的前提下，盡可能多的利用生成的數字，從而減少舍棄的數字比例，降低 while 重復執行的概率。

上述就是小編為大家分享的Python 概率生成問題的示例分析了，如果剛好有類似的疑惑，不妨參照上述分析進行理解。如果想知道更多相關知識，歡迎關注億速云行業資訊頻道。