怎么用Python求解阿基米德分牛問題

今天小編給大家分享一下怎么用Python求解阿基米德分牛問題的相關知識點，內容詳細，邏輯清晰，相信大部分人都還太了解這方面的知識，所以分享這篇文章給大家參考一下，希望大家閱讀完這篇文章后有所收獲，下面我們一起來了解一下吧。

題目大意

問 太陽神有一牛群，由白、黑、花、棕四種顏色的公、母牛組成，其間關系如下，求每種牛的個數。

公牛中，白牛多于棕牛，二者之差為黑牛的1/2+1/3;黑牛多于棕牛，二者之差為花牛的1/4+1/5;花牛多于棕牛，二者之差為白牛數的1/6+1/7

母牛中，白牛是全體黑牛的1/3+1/4;黑牛是全體花牛的1/4+1/5;花牛是全體棕牛的1/5+1/6;棕牛是全體白牛的1/6+1/7

如果用字母x0,x1, x2 , x3分別表示白、黑、花、棕各色的公牛數；用y0,y1,y2,y3分別表示白、黑、花、棕各色母牛數，則得8 個未知數的如下7 個方程

這個題其實是毫無難度的，但非要用Python，那么難點主要如何優雅地表達這個過程，這里選用的是sympy符號計算。

所以第一步，先給定一些符號

import sympy
x0,x1,x2,x3 = sympy.symbols("x0,x1,x2,x3")
y0,y1,y2,y3 = sympy.symbols("y0,y1,y2,y3")
x = [x0,x1,x2,x3]
y = [y0,y1,y2,y3]

sympy求解

然后將阿基米德分牛問題轉化為Python代碼，其優雅之處在于，這些分數的構建遵循自然數遞增的規律，故可通過循環來生成，非常便捷。

frac = lambda x : sympy.Rational(1,x)
fs = []
for i in range(3):
    fs.append(x[i]-x[3]-(frac(2*i+2)+frac(2*i+3))*x[i+1])

for i in range(4):
    ind = (i + 1) % 4
    fs.append(y[i]-(frac(i+3)+frac(i+4))*(x[ind]+y[ind]))

這樣就得到了待求方程組

>>> for f in fs: print(f)
...
x0 - 5*x1/6 - x3
x1 - 9*x2/20 - x3
x2 - 55*x3/42
-7*x1/12 + y0 - 7*y1/12
-9*x2/20 + y1 - 9*y2/20
-11*x3/30 + y2 - 11*y3/30
-13*x0/42 - 13*y0/42 + y3

但是，8個未知數7個方程，顯然沒有唯一解，考慮到x3貌似是最小的值，所以最后希望用x3來表示其他數。

res = sympy.solve(fs, x[:3]+y)

結果

查看一下結果

for key in res:
    print(sympy.latex(key), "&=", sympy.latex(res[key]), r"\\")

這道題到這里基本上就算解完了，但是牛至少得是個整數，所以接下來要做的是求解分母的最小公倍數。

在sympy中，對于一個分數r，r.p為分子，r.q為分母；lcm可求解其最小公倍數。

denominators = [(v/x3).q for v in res.values()]
x3Res = sympy.lcm(denominators)
# 32859792

然后讓將x3的值加入fs，

fs.append(x3-x3Res)
res2 = sympy.solve(fs, x+y)
for key in res2:
    print(sympy.latex(key), "=", res2[key], r"\\")

結果如下

x0=76379457
x1=52223598
x2=43030680
x3=32859792
y0=48646815
y1=31170942
y2=26238080
y3=38698608

這些牛加一起有349247972頭，全世界大概有10萬億頭，看來太陽神的牛還是比較多的。

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