C++怎么實現獨一無二的二叉搜索樹

本文小編為大家詳細介紹“C++怎么實現獨一無二的二叉搜索樹”，內容詳細，步驟清晰，細節處理妥當，希望這篇“C++怎么實現獨一無二的二叉搜索樹”文章能幫助大家解決疑惑，下面跟著小編的思路慢慢深入，一起來學習新知識吧。

獨一無二的二叉搜索樹

Given n, how many structurally unique BST"s (binary search trees) that store values 1 ... n?

Example:

Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST"s:

1         3     3      2      1
       /     /      /      
3     2     1      1   3      2
/     /                       
2     1         2                 3

這道題實際上是 卡塔蘭數 Catalan Numbe 的一個例子，如果對卡塔蘭數不熟悉的童鞋可能真不太好做。話說其實我也是今天才知道的好嘛 -.-|||，為啥我以前都不知道捏？！為啥卡塔蘭數不像斐波那契數那樣人盡皆知呢，是我太孤陋寡聞么？！不過今天知道也不晚，不斷的學習新的東西，這才是刷題的意義所在嘛! 好了，廢話不多說了，趕緊回到題目上來吧。我們先來看當 n = 1 的情況，只能形成唯一的一棵二叉搜索樹，n分別為 1,2,3 的情況如下所示：

                    1                        n = 1

                2        1                   n = 2
/         
1            2

1         3     3      2      1           n = 3
       /     /      /      
3     2     1      1   3      2
/     /                       
2     1         2                 3

就跟斐波那契數列一樣，我們把 n = 0 時賦為1，因為空樹也算一種二叉搜索樹，那么 n = 1 時的情況可以看做是其左子樹個數乘以右子樹的個數，左右子樹都是空樹，所以1乘1還是1。那么 n = 2 時，由于1和2都可以為根，分別算出來，再把它們加起來即可。n = 2 的情況可由下面式子算出（這里的 dp[i] 表示當有i個數字能組成的 BST 的個數）：

dp[2] =  dp[0] * dp[1]　　　(1為根的情況，則左子樹一定不存在，右子樹可以有一個數字)

　　　　+ dp[1] * dp[0]　　  (2為根的情況，則左子樹可以有一個數字，右子樹一定不存在)

同理可寫出 n = 3 的計算方法：

dp[3] =  dp[0] * dp[2]　　　(1為根的情況，則左子樹一定不存在，右子樹可以有兩個數字)

　　　　+ dp[1] * dp[1]　　  (2為根的情況，則左右子樹都可以各有一個數字)

 　　　  + dp[2] * dp[0]　　  (3為根的情況，則左子樹可以有兩個數字，右子樹一定不存在)

我們根據以上的分析，可以寫出代碼如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

由卡特蘭數的遞推式還可以推導出其通項公式，即 C(2n,n)/(n+1)，表示在 2n 個數字中任取n個數的方法再除以 n+1，只要你還沒有忘記高中的排列組合的知識，就不難寫出下面的代碼，注意在相乘的時候為了防止整型數溢出，要將結果 res 定義為長整型，參見代碼如下：

解法二：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long res = 1;
        for (int i = n + 1; i <= 2 * n; ++i) {
            res = res * i / (i - n);
        }
        return res / (n + 1);
    }
};

讀到這里，這篇“C++怎么實現獨一無二的二叉搜索樹”文章已經介紹完畢，想要掌握這篇文章的知識點還需要大家自己動手實踐使用過才能領會，如果想了解更多相關內容的文章，歡迎關注億速云行業資訊頻道。