如何實現大整數乘法運算與分治算法

本篇內容主要講解“如何實現大整數乘法運算與分治算法”，感興趣的朋友不妨來看看。本文介紹的方法操作簡單快捷，實用性強。下面就讓小編來帶大家學習“如何實現大整數乘法運算與分治算法”吧!

普通乘數運算

對于乘數運算有一種比較簡單較為容易理解的方法，我們可以利用小學時期學的列豎式的計算方法進行乘法運算。

列豎式乘法運算

參考上圖中的列豎式計算方法，我們進行代碼實現。

#include <iostream> #include <string> #include <stdlib.h> #include <vector> #include <cstring> #include <algorithm>  std::string multiply(std::string a, std::string b) {     std::string result = "";     int row = b.size();     int col = a.size() + 1;     int tmp[row][col];     memset(tmp,0, sizeof(int)*row*col);          reverse(a.begin(),a.end());     reverse(b.begin(),b.end());          for(int i = 0; i < b.size(); i++)     {         for(int j = 0; j < a.size(); j++)         {             std::string bit_a = std::string(1, a.at(j));             std::string bit_b = std::string(1, b.at(i));                          tmp[i][j] += std::stoi(bit_a) * std::stoi(bit_b);                      tmp[i][j+1] = tmp[i][j] / 10;             tmp[i][j] %= 10;          }      }      int N =  a.size() + b.size();     int sum[N];     memset(sum, 0, sizeof(int)*N);          for(int n = 0; n < N; n++)     {         int i = 0;         int j = n;                  while (i <= n && j >= 0 )         {             if(i < row && j < col)             {                 sum[n] += tmp[i][j];             }                          i++;             j--;         }          if( n+1 < N )         {             sum[n+1] = sum[n] / 10;             sum[n] %= 10;         }      }      bool zeroStartFlag = true;     for (int i = N-1; i >= 0; i--)     {         if(sum[i]==0 && zeroStartFlag)         {             continue;         }                  zeroStartFlag = false;         result.append(std::to_string(sum[i]));     }          return result; }   int main() {     std::string a = "3456";     std::string b = "1234";      std::string result = multiply(a, b);         std::cout << a << " * " << b << " = " << result <<std::endl;          return 0; }

為了方便我們先將各個乘數做了翻轉處理，最后需要再將結果翻轉回來。在運算過程中用來存放乘法運算結果的數組，我們沒有進行移位處理同列相加，而是對角線相加，這樣可以減少空間和運算步驟。上面的代碼運行結果如下所示。

運行結果

因為字符串的長度沒有特別的限制，所以上面的算法可以適用大整數運算。

分治算法

雖然上面的列豎式的方法可以很好的解決大整數乘法的問題，但是我們還用一種更加高效的方法可以選擇，這就是分治(Divide and  Conquer)算法。它是一種非常重要的算法，可以應用到很多領域，比如快速排序，二分搜索等。從算法的名字我們可以看出它是將大的問題拆分進行細化，由大變小，先將小的問題解決，最終將這個問題解決，所以叫Divide  and Conquer。在這里我們可以通過這種方法將大整數進行拆分，拆分成一個個可以通過程序語言直接進行運算的小整進行計算，最后求得到大整數的值。

假設有兩個大整數，我們設為a(大小為n位)和b(大小為m位)，這里我們將使用二分法對數據進行拆分，這兩個整數我們可以分解為：

則,

令，

根據上面公式里，我們可以將a*b分解為四個小的整數的乘法，即z3,z2,z1,z0四個表達式。如果分解出來的乘法數值還是很大，還可以按照同樣的方法進行拆解直到拆解成較小的數值乘法，直到計算機程序語言可以直接運算。

比如，上面的3456和1234相乘，參考下圖通過二分法逐級對整數進行拆分，我們將兩個整數拆分到一位整數進行運算。

3456和1234拆分步驟圖

下面我們看一下分治算法的代碼實現，這里我們使用遞歸的方法。

#include <iostream> #include <string> #include <stdlib.h> #include <vector> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath>  std::string add(std::string a, std::string b) {     int N = std::max(a.size(), b.size());     int sum[N];     memset(sum, 0, sizeof(int)*N);          reverse(a.begin(),a.end());     reverse(b.begin(),b.end());      for(int i = 0; i< N; i++)     {         int bit_a = 0;         int bit_b = 0;         if(i < a.size()) bit_a = std::stoi(std::string(1, a.at(i)));         if(i < b.size()) bit_b = std::stoi(std::string(1, b.at(i)));          sum[i] += (bit_a + bit_b);          if(i < N-1 && sum[i]>9)         {             sum[i+1] = sum[i] / 10;             sum[i] %=10;         }     }      std::string result="";     bool zeroStartFlag = true;     for (int i = N-1; i >= 0; i--)     {         if(sum[i]==0 && zeroStartFlag)         {             continue;         }                  zeroStartFlag = false;         result.append(std::to_string(sum[i]));     }       return result; }  std::string divideAndConquer(std::string a, std::string b) {     if( a.size() < 2 && b.size() < 2)      {         return std::to_string(std::stoi(a) * std::stoi(b));     }          int n = a.size();     int m = b.size();          int halfN = n/2;     int halfM = m/2;      std::string a0 = "0";     std::string a1 = "0";     if(a.size() > halfN && halfN > 0)     {         a1 = a.substr(0, halfN);         a0 = a.substr(halfN, a.size() - halfN);     }     else     {         a1 = "0";         a0 = a;     }          std::string b0 = "0";     std::string b1 = "0";     if(b.size() > halfM && halfM > 0)     {         b1 = b.substr(0, halfM);         b0 = b.substr(halfM, b.size() - halfM);      }     else     {         b1 = "0";         b0 = b;     }      std::string a1b1 = divideAndConquer(a1, b1);     std::string a0b0 = divideAndConquer(a0, b0);     std::string a1b0 = divideAndConquer(a1, b0);     std::string a0b1 = divideAndConquer(a0, b1);          a1b1.append((n - halfN) + (m - halfM), '0');     a1b0.append(n - halfN, '0');     a0b1.append(m - halfM, '0');      std::string result = "";     result = add(a1b1, a1b0);     result = add(result, a0b1);     result = add(result, a0b0);      return result; }  int main() {     std::string a = "3456";     std::string b = "1234";      std::cout << a << " * " << b << " = " << divideAndConquer(a, b) << std::endl;       return 0; }

程序的運行結果如下：

分治算法運行結果

到此，相信大家對“如何實現大整數乘法運算與分治算法”有了更深的了解，不妨來實際操作一番吧！這里是億速云網站，更多相關內容可以進入相關頻道進行查詢，關注我們，繼續學習！