Java概率論的計數方法是什么

本篇內容主要講解“Java概率論的計數方法是什么”，感興趣的朋友不妨來看看。本文介紹的方法操作簡單快捷，實用性強。下面就讓小編來帶大家學習“Java概率論的計數方法是什么”吧!

概率

概率論研究隨機事件。它源于賭徒的研究。中有許多隨機事件，比如投擲一個，是否只憑運氣呢？

賭徒逐漸發現隨機事件的規律。投擲兩個是常見的游戲。如果重復很多次，那么總數為2的次數會比總數7的次數少。這就是賭徒把握到的規律：盡管我無法預知事件的具體結果，但我可以了解每種結果出現的可能性。這是概率論的核心。

“概率”到底是什么？這在數學上還有爭議。“頻率派”認為概率是重復嘗試多次，某種結果出現的次數在嘗試的總次數的比例。“貝葉斯派”認為概率是主觀信念的強弱。幸好，這些爭議并不影響我們在日常生活中使用“概率”哲學。天氣預報的降雨概率為80%時，很多人會因此帶上傘。報紙會分析一場球賽某支球隊的贏球概率，如果最終贏球概率為10%的球隊取勝，那么球迷會感到驚訝，這畢竟是小概率事件。

要知道某個結果的概率并不容易。上面分析球隊的贏球概率，要考慮許多因素。投一個，有6種可能的結果。許多原因會影響到結果，比如撒子是否均勻，比如擲撒子的人是否有技巧偏向。只有在絕對均勻，且沒有作弊，每種結果出現的概率才相同。否則的話，根本無法給結果一個確定的概率值。因此，為了能從數學上給結果分配一個概率，我們往往會給隨機事件增加一些假設條件。這些條件有理想化的成份，但并不至于偏離現實。比如，我們說擲撒子，撒子均勻，擲的人也沒有什么特殊手法，并由此推斷每種結果出現的可能相同。那么，其中任意一個結果出現的概率為1/6。

基本計數原理

上面我們談到了“等概率”的假設。如果每種結果出現的概率相同，那么給結果分配概率的任務就變得簡單一些。在計算這種概率時，我們只需要等概率的結果的總數，就可以知道每種結果的概率。比如擲一個撒子會有6種結果，如果等概率，那么每個結果的概率為1/6。對于一些復雜的情況，就需要使用到計數技巧。

計數的基本原理敘述如下:

如果一個實驗可以分為m個步驟，每個步驟分別有n1,n2,...,nmn1,n2,...,nm種可能，那么總共會有

n1×n2×...×nmn1×n2×...×nm

種可能的結果。

基本技術原理的核心是“分步”。對于簡單的一個步驟的事情，我們能比較直接的分辨結果的總數。比如生一個孩子的性別，比如一個硬幣的正反，比如一個撒子的結果。當一個隨機事件是多個步驟復合而成的，而每個步驟又都是隨機的，那么分布可以簡化問題的復雜性。想像一個餐廳，有三個窗口，分別賣三種飲料，五種菜和兩種主食。每個學生在每個窗口限選一種，那么學生的餐飲配套會有3x5x2共30種可能的結果。如果每個窗口的師傅都很隨意霸道，隨手給學生一樣東西，那么我們甚至于可以假設等概率條件，每種餐飲拍套出現的概率為1/30。

(當然，作為學生，會抗議這樣的“隨機”食堂吧？)

基本計數原理的應用并不局限于概率論。在程序員進行算法分析時，無形中使用的就是進行計數。比如嵌套循環，外循環需要M步，內循環需要N步，那么總共進行操作的次數是MxN次。可以說，計數是“離散數學”非常重要的一個組成部分；而離散數學，正是計算機專業的核心數學課程。

基本計數原理是思考的起點。現實中的情況往往會更多變些。特別是當我們“分布”的動作都是作用于同一個群體時，會相對復雜。我們分類了解以下情形:

有序的重復抽樣

考慮下面的兩個問題:

• 一個連續擲2次，所有可能的結果有多少個？

• 一個可選6個號，每個號可以是0到9，共有多少個可能的結果？

我們可以看到，這一類的抽樣結果是由多次抽樣構成的。每次抽樣的樣本，在下一次也可能出現。比如第一次為1，第二次還可能為1。這叫做重復抽樣 (或者說有放回的抽樣，sampling with replacement)。在的例子中，每次抽樣的可能出現的結果都有6種。

樣本出現的次序影響結果。比如(1,2)(1,2)和(2,1)(2,1)是兩個不同結果。

從數學上來說，如果進行m次有放回的抽樣，每次抽樣都有n種可能。如果最終結果有序，那么將有

nmnm

種可能。

我們下面模擬的例子:

import itertools
a = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
outcomes = list(itertools.product(a, a))print(outcomes)print(len(outcomes))

共返回36個可能的結果:

[(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), 
 (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), 
 (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), 
 (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), 
 (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), 
 (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)]
36

如果每種結果的出現概率相同，那么對于其中的某個具體結果來說，它出現的概率P=1/36P=1/36。

有序的非重復抽樣

考慮下面兩個問題:

• 從4個人中，挑出2個人分別擔任隊長和副隊長，有多少種可能？

• 從10們課種，挑選3門，分別放入周一、周三、周五的課表，有多少種可能？

可以看到，這樣的抽樣是沒有重復的。某一次抽樣的樣本在此后不會出現，前面一個步驟的動作減少了后面一個步驟的選擇，這叫做非重復抽樣。在非重復的前提下，每次抽樣可能的結果數遞減，比如從4個人中選一個作為隊長，那么副隊長只能從3個人中選擇。

同樣，結果是有序的。A擔任隊長，B擔任副隊長，與A擔任副隊長，B擔任隊長，是兩個不同結果。

有序的非重復抽樣又叫做排列(permutation)。從數學上來說，從n個樣品中挑選m個，放入m個位置，將有

n×(n?1)×...×(n?m+1)n×(n?1)×...×(n?m+1)

種可能。如果我們使用階乘(factorial)運算符，那么結果可以表示為

n!(n?m)!n!(n?m)!

其中，n!=1×2×...×(n?1)×nn!=1×2×...×(n?1)×n。

我們用下面的程序來模擬隊長組合的狀況:

import itertools
a = ["Tom", "Lee", "King", "James"]
outcomes = list(itertools.permutations(a, 2))print(outcomes)print(len(outcomes))

結果為

[('Tom', 'Lee'), ('Tom', 'King'), ('Tom', 'James'), 
 ('Lee', 'Tom'), ('Lee', 'King'), ('Lee', 'James'), 
 ('King', 'Tom'), ('King', 'Lee'), ('King', 'James'), 
 ('James', 'Tom'), ('James', 'Lee'), ('James', 'King')]

共有12種可能的結果。

無序的非重復抽樣

考慮下面的問題:

• 從4個人中抽出2個人，有多少種可能？

• 從一副中抽3張牌，有多少種可能？

在上面的問題中，每次抽樣同樣是非重復的。但這里，抽樣結果是無序的。比如說，抽出"Lee"和"Tom"，以及抽出"Tom"和"Lee"，是同一個結果。這樣的抽樣方式叫做組合(combination)。

m個樣品有m!m!種排列方式。如果是從n個樣品中抽取m個作為組合，所有的這m!m!種排序方式應該看做一種。因此，有

n!(n?m)!m!n!(n?m)!m!

種可能結果。我們可以用下面的方式記錄組合:

(nm)=n!(n?m)!m!(nm)=n!(n?m)!m!

我們下面來模擬第一個問題:

import itertools
a = ["Tom", "Lee", "King", "James"]
outcomes = list(itertools.combinations(a, 2))print(outcomes)print(len(outcomes))

有以下結果

[('Tom', 'Lee'), ('Tom', 'King'), ('Tom', 'James'),
 ('Lee', 'King'), ('Lee', 'James'),
 ('King', 'James')]

可以看到，從4個中挑選2個，有6種可能的組合。這是排列的一半。

組合的問題可以進一步延伸。比如，將9個球分為1, 3, 5個的三堆，有多少種方式？這相當于從9個球中抽取1個，再從剩下的8個球中抽取3個，最后剩下的5個為一堆。可以證明，結果為

9!1!3!5!9!1!3!5!

類似的，將n個球分為n1,n2,...,nmn1,n2,...,nm個的堆，其中n=n1+n2+...+nmn=n1+n2+...+nm。將有

n!n1!n2!...nm!n!n1!n2!...nm!

種可能。

無序的重復抽樣

考慮下面的問題:

• 刮獎有4種獎品。購買3張的話，有多少種中獎可能？

在上面的每次抽樣中，都是重復抽樣，即抽出后有放回。比如刮獎中，可以多次刮到同一獎品。我們在一個表中記錄結果:

可以看到，我們實際上是將3張分成4份，每份的數目不定(≥0)(≥0)。

這與下面的問題類似，將5個相同物品放入三個不同的容器中:

我們用2個黑色分隔物，來將5個相同的物品分為3堆。比如這里，將物品分為(0, 2, 3)的結果。

從7個位置中挑選2個作為分割物的位置，共有

(72)(72)

種可能。

概括來講，從n個樣品中，無序的重復抽樣m次，有

(n+m?1m?1)(n+m?1m?1)

種可能。

階乘與組合

我們在上面多次使用了階乘運算，在Python中，它可以使用math.factorial實現:

import mathprint(math.factorial(5))

此外，組合可以使用scipy.misc.comb來近似計算，比如:

import scipy.miscprint(scipy.misc.comb(4, 2))

到此，相信大家對“Java概率論的計數方法是什么”有了更深的了解，不妨來實際操作一番吧！這里是億速云網站，更多相關內容可以進入相關頻道進行查詢，關注我們，繼續學習！