OpenGL進階(十五) - 彈簧質點系統（Mass Spring Systems）

簡介

      一個模擬變形物體最簡單額方法就是將其表示為彈簧質點系統（Mass Spring Systems），因為方法簡單，這個框架對于學習物理模擬和時間積分的各種技術都比較理想。一個彈簧質點包含了一系列由多個彈簧連接起來的質點，這樣的系統的物理屬性非常直接，模擬程序也很容易編寫。

      但是簡單是有代價了：

1.物體的行為依賴于彈簧系統的設置方法；

2.很難通過調整彈簧系數來得到想要的結果；

3.彈簧質點網格不能直接獲取體效果。

      在很多的應用中這些缺點可以忽略，在這種場合下，彈簧質點網格是最好的選擇，因為夠快夠簡單。

      今天首先說明一下Mass Spring Systems的理論基礎，然后來實現繩子的real-time模擬。

物理模型

      假設有N個質點，質量為mi，位置為xi，速度為vi , 1<i<N.

      這些質點由一組彈簧S連接，彈簧參數為（i,  j, lo, ks, kd）. i,j 為連接的彈簧質點，lo為彈簧完全放松時的長度，ks為彈簧彈性系數，kd為阻尼系數，由胡科定律知彈簧施加在兩頂點上的力可以表示為：

         由受力守恒知 fi+fj = 0. fi和fj的大小和彈簧伸長成正比關系。

        對于阻尼的計算，

          大小和速度成正比，并且符合力守恒，則對于一個質點，其受力方程為：

模擬

在模擬算法中，牛頓第二定律是關鍵，f = ma。在已知質量和外力的情況下，通過 a=f/m 可以得到加速度，將二階常微分方程寫成兩個一階方程：

可以得到解析解：

初始狀態為 v(to) = vo, x(to)=xo.

積分將時間t內所有的變化加和，模擬的過程就是從 to 開始不斷地計算 x(t) 和 v(t)，然后更新質點的位置。

最簡單的數值解法就是利用有限的差分近似微分：

其中delta t 是為時間步長，t為幀號，帶入之前的公式得：

這個就是顯式的歐拉解法，下一時刻的狀態完全由當前狀態決定。

整個過程的偽代碼如下：

// initialization  forall particles i          initialize xi , vi and mi  endfor // simulation loop  loop         forall particles i                fi ← fg + fcoll + ∑ f(xi , vi , x j , v j )         endfor         forall particles i              vi ← vi +