math庫與數值積分算法的結合

在計算機編程中，math庫通常提供了許多基本的數學函數和常量，如三角函數、對數函數、指數函數、平方根等。而數值積分算法則是用于近似計算定積分的方法，它們可以在沒有解析解的情況下，通過對函數在特定區間上進行求值來得到積分的近似值。

將math庫與數值積分算法結合使用，可以讓我們在編程中更方便地處理各種數學問題。以下是一些常見的數值積分算法以及如何使用math庫來實現它們：

1. 矩形法（Rectangle Rule）： 矩形法是一種簡單的數值積分方法，它將積分區間分成若干個小矩形，每個小矩形的面積近似為函數在該區間的值乘以矩形的寬度。

   import math
   
   def rectangle_rule(f, a, b, n):
       x = [a + i * (b - a) / n for i in range(n + 1)]
       integral = sum(f(x[i]) * (x[i + 1] - x[i]) for i in range(n))
       return integral
   
   # 示例函數
   def f(x):
       return math.sin(x)
   
   # 計算定積分
   result = rectangle_rule(f, 0, math.pi, 1000)
   print("積分結果:", result)
   

2. 梯形法（Trapezoidal Rule）： 梯形法是另一種簡單的數值積分方法，它將積分區間分成若干個小梯形，每個小梯形的面積近似為函數在該區間的平均值乘以梯形的高度。

   import math
   
   def trapezoidal_rule(f, a, b, n):
       x = [a + i * (b - a) / n for i in range(n + 1)]
       integral = 0.5 * (f(x[0]) + f(x[-1])) * (b - a) + sum(f(x[i]) * (x[i + 1] - x[i - 1]) / 2 for i in range(1, n))
       return integral
   
   # 示例函數
   def f(x):
       return math.sin(x)
   
   # 計算定積分
   result = trapezoidal_rule(f, 0, math.pi, 1000)
   print("積分結果:", result)
   

3. 辛普森法（Simpson’s Rule）： 辛普森法是一種更精確的數值積分方法，它利用了函數的線性近似性質。對于三次多項式函數，辛普森法可以達到更高的精度。

   import math
   
   def simpson_rule(f, a, b, n):
       if n % 2 == 0:
           raise ValueError("n必須是奇數")
       x = [a + i * (b - a) / n for i in range(n + 1)]
       integral = f(x[0]) * (x[2] - x[0]) / 3 + sum(f(x[i]) * (x[i + 2] - x[i]) / 3 for i in range(1, n - 1, 2)) + f(x[-1]) * (x[-1] - x[-3]) / 3
       return integral
   
   # 示例函數
   def f(x):
       return math.sin(x)
   
   # 計算定積分
   result = simpson_rule(f, 0, math.pi, 1000)
   print("積分結果:", result)
   

這些數值積分算法可以與math庫結合使用，以便在編程中更方便地處理各種數學問題。