SPFA算法的實現原理及其應用介紹

本篇文章和大家了解一下SPFA算法的實現原理及其應用介紹。有一定的參考價值，有需要的朋友可以參考一下，希望對大家有所幫助。

一、前言

SPFA算法，全稱為Shortest Path Faster Algorithm，是求解單源最短路徑問題的一種常用算法，它可以處理有向圖或者無向圖，邊權可以是正數、負數，但是不能有負環。

二、SPFA 算法

1、SPFA算法的基本流程

1. 初始化

首先我們需要起點s到其他頂點的距離初始化為一個很大的值（比如9999999，像是 JAVA 中可以設置 Integer.MAX_VALUE 來使），并將起點s的距離初始化為0。同時，我們還需要將起點s入隊。

2. 迭代

每次從隊列中取出一個頂點u，遍歷所有從u出發的邊，對于邊（u,v）（其中v為從u可以到達的頂點），如果s->u->v的路徑長度小于s->v的路徑長度，那么我們就更新s->v的路徑長度，并將v入隊。

3. 循環

不斷進行步驟2，直到隊列為空。

4. 判斷

最后，我們可以得到從起點s到各個頂點的最短路徑長度，如果存在無窮小的距離，則說明從起點s無法到達該頂點。

其次，需要注意的是，SPFA算法中存在負環問題。如果存在負環，則算法會陷入死循環。因此，我們需要添加一個計數器，記錄每個點進隊列的次數。當一個點進隊列的次數超過圖中節點個數時，就可以判定存在負環。

2、代碼詳解

以下是使用Java實現 SPFA算法的代碼，其中Graph類表示有向圖或無向圖，Vertex類表示圖中的一個頂點，Edge類表示圖中的一條邊。

import java.util.*;
class Graph {   // 圖
    private List<Vertex> vertices;  // 頂點集
    public Graph() {
        vertices = new ArrayList<Vertex>();
    }
    public void addVertex(Vertex v) {   // 添加頂點
        vertices.add(v);
    }   // 添加頂點
    public List<Vertex> getVertices() { // 返回頂點
        return vertices;
    }   // 獲取頂點集
}
class Vertex {  // 點
    private int id; // 點 id
    private List<Edge> edges;   // 連接到該頂點的邊
    private int distance;   // 從源頂點到該頂點的最短距離，MAX_VALUE init
    private boolean visited;    // 在圖的遍歷過程中是否訪問過該頂點，false init
    public Vertex(int id) {
        this.id = id;
        edges = new ArrayList<Edge>();
        distance = Integer.MAX_VALUE;
        visited = false;
    }
    public int getId() {    // 獲取 id
        return id;
    }
    public void addEdge(Edge e) {   // 將連接到該頂點邊添加到列表中
        edges.add(e);
    }   // 添加圖到邊
    public List<Edge> getEdges() {  // 獲取連接到該頂點的邊集
        return edges;
    }   // 獲取圖中邊
    public int getDistance() {  // 獲取從源頂點到該頂點的最短距離
        return distance;
    }   // 獲取源頂點到該頂點的最短距離
    public void setDistance(int distance) { //設置最短距離
        this.distance = distance;
    }   // 設置源頂點到該頂點的最短距離
    public boolean isVisited() {    // 獲取在圖的遍歷過程中是否訪問過該點
        return visited;
    }   // 獲取圖遍歷過程中是否訪問過該點
    public void setVisited(boolean visited) {   // 設置在圖的遍歷過程中是否訪問過該點
        this.visited = visited;
    }   // 設置圖遍歷過程中是否訪問過該點
}
class Edge {    // 邊
    private Vertex source;  // 源頂點
    private Vertex destination; // 目標頂點
    private int weight; // 邊的權重
    public Edge(Vertex source, Vertex destination, int weight) {
        this.source = source;
        this.destination = destination;
        this.weight = weight;
    }
    public Vertex getSource() { // 返回源頂點
        return source;
    }   // 獲取源點
    public Vertex getDestination() {    // 返回目標頂點
        return destination;
    }   // 獲取目標頂點
    public int getWeight() {    // 獲取邊的權重
        return weight;
    }   // 獲取邊的權重
}
// SPFA 算法
public class SPFA { 
    public static void spfa(Graph graph, Vertex source) {
        // 初始化
        Queue<Vertex> queue = new LinkedList<Vertex>(); // 初始化一個頂點隊列，使用該隊列來跟中需要處理的頂點 
        for (Vertex v : graph.getVertices()) {  // 初始化最短距離和是否訪問過該點
            v.setDistance(Integer.MAX_VALUE);
            v.setVisited(false);
        }
        source.setDistance(0); // 將源頂點到自身的最短距離設為0
        queue.add(source);  // 將源頂點添加到隊列中
        // 迭代
        int count = 0;  // 用于檢測圖中的負環，count超過圖中頂點的總數，拋出異常
        // 查找從一個源頂點到圖中所有其它頂點的最短路徑
        while (!queue.isEmpty()) {  
            Vertex u = queue.poll();    // 存儲SPFA算法正在處理的頂點，poll 方法將下一個頂點從隊列中取出
            u.setVisited(false);    // 標記該頂點為未訪問，以便在算法中再次對其處理
            // 查找部分，循環遍歷當前頂點 u 的所有邊
            for (Edge e : u.getEdges()) {   
                Vertex v = e.getDestination();  // 返回邊 e 的目標頂點給 v
                int distance = u.getDistance() + e.getWeight(); // 計算源頂點到目標頂點的距離
                if (distance < v.getDistance()) {
                    v.setDistance(distance);    // 更新最短距離
                    if (!v.isVisited()) {   // 如果該頂點未被訪問過
                        queue.add(v);   // 將該頂點添加到隊列中
                        v.setVisited(true); // 標記該頂點已被訪問
                        count++;    // 負環 + 1
                        if (count > graph.getVertices().size()) {   // 檢查 SPFA 算法處理的頂點數是否大于圖中頂點總數
                            throw new RuntimeException("Negative cycle detected");
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        // 構造圖
        Graph graph = new Graph();
        // 構造頂點
        Vertex s = new Vertex(0);
        Vertex a = new Vertex(1);
        Vertex b = new Vertex(2);
        Vertex c = new Vertex(3);
        Vertex d = new Vertex(4);
        // 點加邊
        s.addEdge(new Edge(s, a, 2));
        s.addEdge(new Edge(s, c, 1));
        a.addEdge(new Edge(a, b, 3));
        b.addEdge(new Edge(b, d, 2));
        c.addEdge(new Edge(c, d, 1));
        // 邊加點
        graph.addVertex(s);
        graph.addVertex(a);
        graph.addVertex(b);
        graph.addVertex(c);
        graph.addVertex(d);
        // 調用SPFA算法求解最短路徑
        spfa(graph, s);
        // 輸出結果
        for (Vertex v :graph.getVertices()) {
            System.out.println("Shortest distance from source to vertex " + v.getId() + " is " + v.getDistance()); 
        } 
    } 
}

上面的代碼實現了SPFA算法，并計算了從給定源點到圖中其他所有頂點的最短路徑。主要思路如下：

• 初始化：將所有頂點的距離設置為正無窮，將源點的距離設置為0，將源點加入隊列。

• 迭代：從隊列中取出一個頂點u，遍歷它的所有鄰居v。如果u到源點的距離加上u到v的邊的權重小于v的距離，則更新v的距離，并將v加入隊列中。如果v已經在隊列中，則不需要再次添加。

• 如果隊列為空，則算法結束。如果隊列非空，則回到步驟2。

SPFA算法的時間復雜度取決于負權邊的數量。如果圖中沒有負權邊，算法的時間復雜度是O(E)，其中E是邊的數量。但是如果圖中有負權邊，算法的時間復雜度將達到O(VE)，其中V是頂點的數量，E是邊的數量。因此，為了避免算法的時間復雜度變得非常高，應盡可能避免在圖中使用負權邊。

三、SPFA 算法已死

這個問題引發了很多OI選手和出題人的討論，雖然 SPFA 算法在實際應用中具有一定的優勢，但它也有一些缺點，導致它被稱為"已死"的算法之一。以下是幾個原因：

• 可能會進入負環：SPFA 算法可以處理負權邊，但是如果有負權環，算法將無法結束，因為每次都會沿著負權環一遍一遍地更新距離，導致算法陷入死循環。

• 時間復雜度不穩定：在最壞情況下，SPFA 算法的時間復雜度可以達到 O ( V E ) O(VE) O(VE)，其中 V V V 和 E E E 分別是圖中的頂點數和邊數。而在最好情況下，時間復雜度只有 O ( E ) O(E) O(E)。因此，SPFA 算法的時間復雜度是不穩定的。

• 存在更好的算法：對于單源最短路徑問題，已經有更好的算法出現，如 Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法。這些算法在時間復雜度和穩定性方面都比 SPFA 算法更優秀。

雖然 SPFA 算法在某些情況下可以發揮出優勢，但是它的缺點也是無法忽視的，而且已經有更好的算法出現，不少大佬也或多或少的對 SPFA 算法進行了優化，更多優化的內容以及最短路徑算法可以在論文中找到。因此，SPFA 算法已經不是首選算法，也可以說是已經“死亡”了。

以上就是SPFA算法的實現原理及其應用介紹的簡略介紹，當然詳細使用上面的不同還得要大家自己使用過才領會。如果想了解更多，歡迎關注億速云行業資訊頻道哦！