Python回歸樹如何實現

本篇內容介紹了“Python回歸樹如何實現”的有關知識，在實際案例的操作過程中，不少人都會遇到這樣的困境，接下來就讓小編帶領大家學習一下如何處理這些情況吧！希望大家仔細閱讀，能夠學有所成！

首先導入庫

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

首先需要創建訓練數據，我們的數據將具有獨立變量（x）和一個相關的變量（y），并使用numpy在相關值中添加高斯噪聲，可以用數學表達為

這里的???? 是噪聲。代碼如下所示。

def f(x):
    mu, sigma = 0, 1.5
    return -x**2 + x + 5 + np.random.normal(mu, sigma, 1)

num_points = 300
np.random.seed(1)
    
x = np.random.uniform(-2, 5, num_points)
y = np.array( [f(i) for i in x] )

plt.scatter(x, y, s = 5)

回歸樹

在回歸樹中是通過創建一個多個節點的樹來預測數值數據的。下圖展示了一個回歸樹的樹結構示例，其中每個節點都有其用于劃分數據的閾值。

給定一組數據，輸入值將通過相應的規格達到葉子節點。達到節點M的所有輸入值可以用X的子集表示。從數學上講，讓我們用一個函數表達此情況，如果給定的輸入值達到節點M，則可以給出1個，否則為0。

找到分裂數據的閾值：通過在每個步驟中選擇2個連續點并計算其平均值來迭代訓練數據。計算的平均值將數據分為兩個的閾值。

首先讓我們考慮隨機閾值以演示任何給定的情況。

threshold = 1.5

low = np.take(y, np.where(x < threshold))
high = np.take(y, np.where(x > threshold))

plt.scatter(x, y, s = 5, label = 'Data')
plt.plot([threshold]*2, [-16, 10], 'b--', label = 'Threshold line')
plt.plot([-2, threshold], [low.mean()]*2, 'r--', label = 'Left child prediction line')
plt.plot([threshold, 5], [high.mean()]*2, 'r--', label = 'Right child prediction line')
plt.plot([-2, 5], [y.mean()]*2, 'g--', label = 'Node prediction line')
plt.legend()

藍色垂直線表示單個閾值，我們假設它是任意兩點的均值,并稍后將其用于劃分數據。

我們對這個問題的第一個預測是所有訓練數據(y軸)的平均值(綠色水平線)。而兩條紅線是要創建的子節點的預測。

很明顯這些平均值都不能很好地代表我們的數據，但它們的差異也是很明顯的：主節點預測(綠線)得到所有訓練數據的均值，我們將其分為2個子節點，這2個子節點有自己的預測(紅線)。與綠線相比這2個子節點更好地代表了它們對應的訓練數據。回歸樹就是將不斷地將數據分成2個部分——從每個節點創建2個子節點，直到達到給定的停止值（這是一個節點所能擁有的最小數據量）。它會提前停止樹的構建過程，我們將其稱為預修剪樹。

為什么會有早停的機制？如果我們要繼續進行分配直到節點只有一個值是，這創建一個過度擬合的方案，每個訓練數據都只能預測自己。

說明：當模型完成時，它不會使用根節點或任何中間節點來預測任何值;它將使用回歸樹的葉子(這將是樹的最后一個節點)進行預測。

為了得到最能代表給定閾值數據的閾值，我們使用殘差平方和。它可以在數學上定義為

讓我們看看這一步是如何工作的。

既然計算了閾值的SSR值，那么可以采用具有最小SSR值的閾值。使用該閾值將訓練數據分為兩個（低和高部分），其中其中低部分將用于創建左子節點，高部分將用于創建右子節點。

def SSR(r, y): 
    return np.sum( (r - y)**2 )
    
SSRs, thresholds = [], []
for i in range(len(x) - 1):
    threshold = x[i:i+2].mean()
    
    low = np.take(y, np.where(x < threshold))
    high = np.take(y, np.where(x > threshold))
    
    guess_low = low.mean()
    guess_high = high.mean()
    
    SSRs.append(SSR(low, guess_low) + SSR(high, guess_high))
    thresholds.append(threshold)
    
print('Minimum residual is: {:.2f}'.format(min(SSRs)))
print('Corresponding threshold value is: {:.4f}'.format(thresholds[SSRs.index(min(SSRs))]))

在進入下一步之前，我將使用pandas創建一個df，并創建一個用于尋找最佳閾值的方法。所有這些步驟都可以在沒有pandas的情況下完成，這里使用他是因為比較方便。

df = pd.DataFrame(zip(x, y.squeeze()), columns = ['x', 'y'])

def find_threshold(df, plot = False):
    SSRs, thresholds = [], []
    for i in range(len(df) - 1):
        threshold = df.x[i:i+2].mean()

        low = df[(df.x <= threshold)]
        high = df[(df.x > threshold)]

        guess_low = low.y.mean()
        guess_high = high.y.mean()

        SSRs.append(SSR(low.y.to_numpy(), guess_low) + SSR(high.y.to_numpy(), guess_high))
        thresholds.append(threshold)
    
    if plot:
        plt.scatter(thresholds, SSRs, s = 3)
        plt.show()
        
    return thresholds[SSRs.index(min(SSRs))]

創建子節點

在將數據分成兩個部分后就可以為低值和高值找到單獨的閾值。需要注意的是這里要增加一個停止條件;因為對于每個節點，屬于該節點的數據集中的點會變少，所以我們為每個節點定義了最小數據點數量。如果不這樣做，每個節點將只使用一個訓練值進行預測，會導致過擬合。

可以遞歸地創建節點，我們定義了一個名為TreeNode的類，它將存儲節點應該存儲的每一個值。使用這個類我們首先創建根，同時計算它的閾值和預測值。然后遞歸地創建它的子節點，其中每個子節點類都存儲在父類的left或right屬性中。

在下面的create_nodes方法中，首先將給定的df分成兩部分。然后檢查是否有足夠的數據單獨創建左右節點。如果(對于其中任何一個)有足夠的數據點，我們計算閾值并使用它創建一個子節點，用這個新節點作為樹再次調用create_nodes方法。

class TreeNode():
    def __init__(self, threshold, pred):
        self.threshold = threshold
        self.pred = pred
        self.left = None
        self.right = None

def create_nodes(tree, df, stop):
    low = df[df.x <= tree.threshold]
    high = df[df.x > tree.threshold]
    
    if len(low) > stop:
        threshold = find_threshold(low)
        tree.left = TreeNode(threshold, low.y.mean())
        create_nodes(tree.left, low, stop)
        
    if len(high) > stop:
        threshold = find_threshold(high)
        tree.right = TreeNode(threshold, high.y.mean())
        create_nodes(tree.right, high, stop)
        
threshold = find_threshold(df)
tree = TreeNode(threshold, df.y.mean())

create_nodes(tree, df, 5)

這個方法在第一棵樹上進行了修改，因為它不需要返回任何東西。雖然遞歸函數通常不是這樣寫的(不返回)，但因為不需要返回值，所以當沒有激活if語句時，不做任何操作。

在完成后可以檢查此樹結構，查看它是否創建了一些可以擬合數據的節點。這里將手動選擇第一個節點及其對根閾值的預測。

plt.scatter(x, y, s = 0.5, label = 'Data')
plt.plot([tree.threshold]*2, [-16, 10], 'r--', 
         label = 'Root threshold')
plt.plot([tree.right.threshold]*2, [-16, 10], 'g--', 
         label = 'Right node threshold')
plt.plot([tree.threshold, tree.right.threshold], 
         [tree.right.left.pred]*2,
         'g', label = 'Right node prediction')
plt.plot([tree.left.threshold]*2, [-16, 10], 'm--', 
         label = 'Left node threshold')
plt.plot([tree.left.threshold, tree.threshold], 
         [tree.left.right.pred]*2,
         'm', label = 'Left node prediction')
plt.plot([tree.left.left.threshold]*2, [-16, 10], 'k--',
         label = 'Second Left node threshold')
plt.legend()

這里看到了兩個預測:

第一個左節點對高值的預測(高于其閾值)

第一個右節點對低值(低于其閾值)的預測

這里我手動剪切了預測線的寬度，因為如果給定的x值達到了這些節點中的任何一個，則將以屬于該節點的所有x值的平均值表示，這也意味著沒有其他x值參與 在該節點的預測中（希望有意義）。

這種樹形結構遠不止兩個節點那么簡單，所以我們可以通過如下調用它的子節點來檢查一個特定的葉子節點。

tree.left.right.left.left

這當然意味著這里有一個向下4個子結點長的分支，但它可以在樹的另一個分支上深入得多。

預測

我們可以創建一個預測方法來預測任何給定的值。

def predict(x):
    curr_node = tree
    result = None
    while True:
        if x <= curr_node.threshold:
            if curr_node.left: curr_node = curr_node.left
            else: 
                break
        elif x > curr_node.threshold:
            if curr_node.right: curr_node = curr_node.right
            else: 
                break
                
    return curr_node.pred

預測方法做的是沿著樹向下，通過比較我們的輸入和每個葉子的閾值。如果輸入值大于閾值，則轉到右葉，如果小于閾值，則轉到左葉，以此類推，直到到達任何底部葉子節點。然后使用該節點自身的預測值進行預測，并與其閾值進行最后的比較。

使用x = 3進行測試(在創建數據時，可以使用上面所寫的函數計算實際值。-3**2+3+5 = -1，這是期望值)，我們得到:

predict(3)
# -1.23741

計算誤差

這里用相對平方誤差驗證數據

def RSE(y, g): 
    return sum(np.square(y - g)) / sum(np.square(y - 1 / len(y)*sum(y)))

x_val = np.random.uniform(-2, 5, 50)
y_val = np.array( [f(i) for i in x_val] ).squeeze()

tr_preds = np.array( [predict(i) for i in df.x] )
val_preds = np.array( [predict(i) for i in x_val] )
print('Training error: {:.4f}'.format(RSE(df.y, tr_preds)))
print('Validation error: {:.4f}'.format(RSE(y_val, val_preds)))

可以看到誤差并不大，結果如下

概括的步驟

更深入的模型

一個更適合回歸樹模型的數據：因為我們的數據是多項式生成的數據，所以使用多項式回歸模型可以更好地擬合。我們更換一下訓練數據，把新函數設為

def f(x):
    mu, sigma = 0, 0.5
    if x < 3: return 1 + np.random.normal(mu, sigma, 1)
    elif x >= 3 and x < 6: return 9 + np.random.normal(mu, sigma, 1)
    elif x >= 6: return 5 + np.random.normal(mu, sigma, 1)
    
np.random.seed(1)
    
x = np.random.uniform(0, 10, num_points)
y = np.array( [f(i) for i in x] )

plt.scatter(x, y, s = 5)

在此數據集上運行了上面的所有相同過程，結果如下

比我們從多項式數據中獲得的誤差低。

最后共享一下上面動圖的代碼：

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation

#===================================================Create Data
def f(x):
    mu, sigma = 0, 1.5
    return -x**2 + x + 5 + np.random.normal(mu, sigma, 1)

np.random.seed(1)
    
x = np.random.uniform(-2, 5, 300)
y = np.array( [f(i) for i in x] )

p = x.argsort()
x = x[p]
y = y[p]

#===================================================Calculate Thresholds
def SSR(r, y): #send numpy array
    return np.sum( (r - y)**2 )

SSRs, thresholds = [], []
for i in range(len(x) - 1):
    threshold = x[i:i+2].mean()
    
    low = np.take(y, np.where(x < threshold))
    high = np.take(y, np.where(x > threshold))
    
    guess_low = low.mean()
    guess_high = high.mean()
    
    SSRs.append(SSR(low, guess_low) + SSR(high, guess_high))
    thresholds.append(threshold)

#===================================================Animated Plot
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2,1, sharex = True)
x_data, y_data = [], []
x_data2, y_data2 = [], []
ln, = ax1.plot([], [], 'r--')
ln2, = ax2.plot(thresholds, SSRs, 'ro', markersize = 2)
line = [ln, ln2]

def init():
    ax1.scatter(x, y, s = 3)
    ax1.title.set_text('Trying Different Thresholds')
    ax2.title.set_text('Threshold vs SSR')
    ax1.set_ylabel('y values')
    ax2.set_xlabel('Threshold')
    ax2.set_ylabel('SSR')
    return line

def update(frame):
    x_data = [x[frame:frame+2].mean()] * 2
    y_data = [min(y), max(y)]
    line[0].set_data(x_data, y_data)

    x_data2.append(thresholds[frame])
    y_data2.append(SSRs[frame])
    line[1].set_data(x_data2, y_data2)
    return line

ani = FuncAnimation(fig, update, frames = 298,
                    init_func = init, blit = True)
plt.show()

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