第一章 隨機事件和概率

§ 1.1 隨機事件和樣本空間

    概率論的任務是尋求隨機現象發生的可能性，并對這種可能性的大小給出度量方式及其算法

    隨機試驗是對隨機現象的觀察

        ① 可在相同條件下重復進行

        ② 每次試驗可能出現不同的結果，最終出現哪種結果，試驗之前不能確定

        ③事先知道試驗可能出現的全部結果

    隨機試驗的每一個可能結果成為一個隨機事件，簡稱事件

        事件分為基本事件和復合事件。又可分為必然事件（記做Ω）和不可能事件（記做）

    樣本空間：一個隨機試驗E產生的所有基本事件構成的集合稱為樣本空間（記做Ω），稱其中元素為一個樣本點，

    記做ω。 Ω={ω}。

§ 1.2 事件的關系和運算

    ① 事件的包含與相等

    ② 事件的和（并）與積（交）

    ③ 互不相容事件與對立事件

        設A、B為兩事件，若A和B不能同時發生，即AB=，則稱A和B是互不相容事件或互斥事件

        若A、B互不相容，且他們的和為必然事件，即AB=及A∪B=Ω，則稱A和B為對立事件或互為逆事件

    ④ 兩事件的差

        設A、B為兩事件，“事件A發生而事件B不發生”是一個事件，稱為事件A和B的差事件，記做A-B

    事件的運算性質：

    ① 交換律：A∪B=B∪A，AB=BA;

    ② 結合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,(AB)C=A(BC);

    ③ 分配律：A(B∪C)=(AB)∪(AC),

               A∪(BC)=(A∪B)(A∪C);

    ④ 德摩根（De Morgan）對偶律：

        （A∪B）的逆=A的逆交B的逆；    AB的逆=A的逆∪B的逆

§ 1.3 事件的概率及其計算

    概率的統計定義——定義1.1： P（A）≈n/N

        ① 非負性 ② 規范性 ③ 有限可加性

    古典型概率：① 有限性 ②等可能性

        P（A）=（A中所有樣本點數）/Ω中樣本點總數=m/n

        n的計數規則：加法原理、乘法原理

    超幾何分布

    幾何型概率

§ 1.4 概率的公理化定義

    設有隨機試驗E，E的樣本空間為Ω，記包括Ω在內的E的所有事件組成的集合族為￡，若對￡中的任一個事件A

    都能賦予一個實數P（A），且P（A）滿足條件：

        ① 非負性：0<=P(A)<=1

        ② 規范性：P（Ω）=1

        ③ 可列可加性： 對兩兩互不相容的事件A,A,A…,有

                    P（（i=1，∞）∑Ai）=(i=1，∞)∑P（Ai）

            則稱P（A）為事件A的概率

    性質1：不可能事件概率為0，即P（）=0

    性質2: 有限可加性

    性質3：（逆事件）P（A的逆）=1-P（A）

    性質4： P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）

    性質5： （加法公式）設A、B、C為任意三個事件，P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)

            P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

§ 1.5 條件概率和事件的獨立性

    條件概率：P(A|B)=P(AB)/P(B)

        非負性：0<=P(A|B)<=1

        規范性：P(Ω|B)=1

        可列可加性：

    P（A的逆|B）=1-P(A|B)

    乘法公式： P（AB）=P(A|B)P(B)  當P（B）>0時

                P(AB)=P(B|A)P(A)

    全概率公式（定理1.1）：設樣本空間Ω的一個劃分為A,A,A…，且P（Ai）>0,i=1,2,...，n,則對任一事件B

    含于Ω，有    P（B）=（i=1，n）∑P（B|Ai）P（Ai）

    貝葉斯公式： 設A,A,A… 為一個樣本空間Ω的一個劃分，且P（Ai）>0,i=1,2,3,...,n.對任意的隨機事件B

    含于Ω，若P（B）>0,則P（Ai|B）=P（B|Ai）P（Ai）/（（j=1,n）∑P(B|Aj)P(Aj)）