Java矩陣連乘問題(動態規劃)算法實例分析

本文實例講述了Java矩陣連乘問題(動態規劃)算法。分享給大家供大家參考，具體如下：

問題描述：給定n個矩陣：A1,A2,...,An，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。確定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數乘次數最少。輸入數據為矩陣個數和每個矩陣規模，輸出結果為計算矩陣連乘積的計算次序和最少數乘次數。

問題解析：由于矩陣乘法滿足結合律，故計算矩陣的連乘積可以有許多不同的計算次序。這種計算次序可以用加括號的方式來確定。若一個矩陣連乘積的計算次序完全確定，也就是說該連乘積已完全加括號，則可以依此次序反復調用2個矩陣相乘的標準算法計算出矩陣連乘積。

完全加括號的矩陣連乘積可遞歸地定義為：

（1）單個矩陣是完全加括號的；
（2）矩陣連乘積A是完全加括號的，則A可表示為2個完全加括號的矩陣連乘積B和C的乘積并加括號，即A=(BC)

例如，矩陣連乘積A1A2A3A4有5種不同的完全加括號的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一種完全加括號的方式對應于一個矩陣連乘積的計算次序，這決定著作乘積所需要的計算量。

看下面一個例子，計算三個矩陣連乘{A1，A2，A3}；維數分別為10*100 , 100*5 , 5*50 按此順序計算需要的次數((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此順序計算需要的次數(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次

所以問題是：如何確定運算順序，可以使計算量達到最小化。

算法思路：

例：設要計算矩陣連乘乘積A1A2A3A4A5A6，其中各矩陣的維數分別是：

A1：30*35;     A2：35*15;     A3：15*5;     A4：5*10;     A5：10*20;     A6：20*25

遞推關系：

設計算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少數乘次數m[i,j]，則原問題的最優值為m[1,n]。
當i=j時，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
當i<j時，若A[i:j]的最優次序在Ak和Ak+1之間斷開，i<=k<j,則：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由于在計算是并不知道斷開點k的位置，所以k還未定。不過k的位置只有j-i個可能。因此，k是這j-i個位置使計算量達到最小的那個位置。

綜上，有遞推關系如下：

構造最優解：

若將對應m[i][j]的斷開位置k記為s[i][j]，在計算出最優值m[i][j]后，可遞歸地由s[i][j]構造出相應的最優解。s[i][j]中的數表明，計算矩陣鏈A[i:j]的最佳方式應在矩陣Ak和Ak+1之間斷開，即最優的加括號方式應為(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，從s[1][n]記錄的信息可知計算A[1:n]的最優加括號方式為(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，進一步遞推，A[1:s[1][n]]的最優加括號方式為(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以確定A[s[1][n]+1:n]的最優加括號方式在s[s[1][n]+1][n]處斷開...照此遞推下去，最終可以確定A[1:n]的最優完全加括號方式，及構造出問題的一個最優解。

package Matrix;
public class Matrix {
  public static void MatrixChain(int[] p,int n, int[][] m, int[][] s) {
   for (int i = 1; i <= n; i++) {
     m[i][i] = 0;
   }
    for(int r = 2;r <= n; r++ ) {
      for(int i = 1; i <= n-r+1; i++) {
        int j = i+r-1;
        m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];
        s[i][j] = i;
        for(int k = i+1; k < j; k++) {
          int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
          if(t < m[i][j]) {
            m[i][j] = t;
            s[i][j] = k;
          }
        }
      }
    }
  }
  public static void Traceback(int i, int j, int[][] s) {
    if(i == j) return;
    Traceback(i,s[i][j],s);
    Traceback(s[i][j] + 1,j,s);
    System.out.println("Multiply  A" + i + "," + s[i][j] + "and A" + (s[i][j] + 1) + "," + j);
  }
  public static void main(String[] args) {
    System.out.println("億速云測試結果：");
    Matrix mc = new Matrix();
    int n = 7;
    int p[] = { 30, 35, 15, 5, 10, 20, 25 };
    int m[][] = new int[n][n];
    int s[][] = new int[n][n];
    int l = p.length-1;
    mc.MatrixChain(p, l,m, s);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      for (int j = 1; j < n; j++) {
        System.out.print(m[i][j] + "\t");
      }
      System.out.println();
    }
    System.out.println();
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      for (int j = 1; j < n; j++) {
        System.out.print(s[i][j]+" ");
      }
      System.out.println();
    }
    mc.Traceback( 1, 6, s);
  }
}

運行結果：

更多關于java算法相關內容感興趣的讀者可查看本站專題：《Java數據結構與算法教程》、《Java操作DOM節點技巧總結》、《Java文件與目錄操作技巧匯總》和《Java緩存操作技巧匯總》

希望本文所述對大家java程序設計有所幫助。