在Java中，你可以使用牛頓迭代法（Newton’s method）來解決各種實際問題，比如求解方程的根、優化問題等。下面我將向你展示一個簡單的示例，說明如何使用牛頓迭代法求解方程的根。

示例：求解方程 f(x) = x^2 - 2 = 0 的根

牛頓迭代法的公式是： [ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f’(x_n)} ]

對于給定的方程 ( f(x) = x^2 - 2 )，其導數為 ( f’(x) = 2x )。

步驟：

1. 初始化：選擇一個初始猜測值 ( x_0 )。
2. 迭代：使用上述公式計算新的近似值 ( x_{n+1} )。
3. 收斂判定：檢查 ( x_{n+1} ) 和 ( x_n ) 是否足夠接近，或者達到預定的迭代次數。
4. 輸出結果：輸出收斂的根。

Java代碼實現：

public class NewtonMethod {
    public static void main(String[] args) {
        // 方程 f(x) = x^2 - 2
        double f(double x) {
            return x * x - 2;
        }

        // 方程 f(x) 的導數 f'(x) = 2x
        double df(double x) {
            return 2 * x;
        }

        // 牛頓迭代法求解方程 f(x) = 0
        double solve(double initialGuess, double tolerance, int maxIterations) {
            double x = initialGuess;
            for (int i = 0; i < maxIterations; i++) {
                double nextX = x - f(x) / df(x);
                if (Math.abs(nextX - x) < tolerance) {
                    return nextX;
                }
                x = nextX;
            }
            throw new RuntimeException("Failed to converge within " + maxIterations + " iterations");
        }

        // 初始猜測值
        double initialGuess = 1.0;
        // 容差
        double tolerance = 1e-7;
        // 最大迭代次數
        int maxIterations = 100;

        try {
            double root = solve(initialGuess, tolerance, maxIterations);
            System.out.println("Approximate root of the equation f(x) = x^2 - 2 is: " + root);
        } catch (RuntimeException e) {
            System.out.println(e.getMessage());
        }
    }
}

解釋：

1. f(x) 和 df(x) 方法分別定義了方程 ( f(x) = x^2 - 2 ) 和其導數 ( f’(x) = 2x )。
2. solve 方法實現了牛頓迭代法，它接受初始猜測值、容差和最大迭代次數作為參數。
3. 在 main 方法中，我們調用 solve 方法并輸出結果。

你可以根據需要調整初始猜測值、容差和最大迭代次數來求解不同的問題。牛頓迭代法在求解非線性方程時非常有效，但在某些情況下可能會不收斂或收斂得很慢。